(2014•呼伦贝尔一模)已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R)

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)求导数,确定函数的单调性,即可求出函数f(x)在定义域内的极值点的个数;

    (Ⅱ)ex-y

    ln(x+1)

    ln(y+1)

    ,即证

    e

    x

    ln(x+1)

    e

    y

    ln(y+1)

    ,令g(x)=

    e

    x

    ln(x+1)

    ,则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增.

    (I)∵f(x)=ax-1-lnx,

    ∴f′(x)=[ax−1/x],

    当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,

    函数f(x)在(0,+∞)单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;

    当a>0时,f'(x)<0得0<x<[1/a],f'(x)>0得x>[1/a],

    ∴f(x)在(0,[1/a])上递减,在([1/a],+∞)上递增,即f(x)在x=[1/a]处有极小值.

    ∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点,

    当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.------------(5分)

    (注:分类讨论少一个扣一分.)

    (II)证明:ex-y

    ln(x+1)

    ln(y+1),即证

    ex

    ln(x+1)>

    ey

    ln(y+1),

    令g(x)=

    ex

    ln(x+1),

    则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增,------------(7分)

    又∵g′(x)=

    ex[ln(x+1)−

    1

    x+1]

    ln2(x+1),

    显然函数h(x)=ln(x+1)-[1/x+1]在(e-1,+∞)上单调递增.

    ∴h(x)>1-[1/e]>0,即g'(x)>0,

    ∴g(x)在(e-1,+∞)上单调递增,即

    ex

    ln(x+1)>

    ey

    ln(y+1),

    ∴当x>y>e-1时,有ex-y

    ln(x+1)

    ln(y+1).------------(12分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.