解题思路:(Ⅰ)求导数,确定函数的单调性,即可求出函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)ex-y>
ln(x+1)
ln(y+1)
,即证
e
x
ln(x+1)
>
e
y
ln(y+1)
,令g(x)=
e
x
ln(x+1)
,则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增.
(I)∵f(x)=ax-1-lnx,
∴f′(x)=[ax−1/x],
当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
函数f(x)在(0,+∞)单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;
当a>0时,f'(x)<0得0<x<[1/a],f'(x)>0得x>[1/a],
∴f(x)在(0,[1/a])上递减,在([1/a],+∞)上递增,即f(x)在x=[1/a]处有极小值.
∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点,
当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.------------(5分)
(注:分类讨论少一个扣一分.)
(II)证明:ex-y>
ln(x+1)
ln(y+1),即证
ex
ln(x+1)>
ey
ln(y+1),
令g(x)=
ex
ln(x+1),
则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增,------------(7分)
又∵g′(x)=
ex[ln(x+1)−
1
x+1]
ln2(x+1),
显然函数h(x)=ln(x+1)-[1/x+1]在(e-1,+∞)上单调递增.
∴h(x)>1-[1/e]>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在(e-1,+∞)上单调递增,即
ex
ln(x+1)>
ey
ln(y+1),
∴当x>y>e-1时,有ex-y>
ln(x+1)
ln(y+1).------------(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.