解题思路:(1)可将A点的坐标代入抛物线y=x2-2x+1中,即可判断出A点是否在这条抛物线上.
(2)①先根据抛物线y=x2-2x+1得出B点的坐标,然后将B点的坐标代入抛物线y=a(x-t-1)2+t2中即可求出a的值.
②可先根据①得出的抛物线的解析式来求出抛物线与x轴两交点的坐标,然后求出这两点之间和这两点与A之间的线段的长度,由于A在这两交点的垂直平分线上,因此只有一种情况,即A为此等腰三角形的直角顶点,因此可根据勾股定理求出t的值.
(1)由题意可知:A点的坐标为(t+1,t2),将A点的坐标代入抛物线y=x2-2x+1中可得:(t+1)2-2(t+1)+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2;
因此A点在抛物线y=x2-2x+1上.
(2)①由题意可知:B点坐标为(1,0).则有:
0=a(1-t-1)2+t2,即at2+t2=0,因此a=-1.
②根据①可知:抛物线的解析式为y=-(x-t-1)2+t2;
当y=0时,-(x-t-1)2+t2=0,解得x=1或x=2t+1
设抛物线与x轴的交点为M,N,那么M点的坐标为(1,0),N点的坐标为(2t+1,0)
因此:AM2=t2+t4,AN2=t2+t4,MN2=4t2
当△AMN是直角三角形时,AM2+AN2=MN2
即(t2+t4)×2=4t2
解得t=1或t=-1
因此能构成直角三角形,此时t的值为1或-1.
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题主要考查了二次函数的性质,函数图象交点的求法以及直角三角形的判定等知识点.