解题思路:(1)法一:令x=y=1,可得f(1)=0.令x=y=-1,可得f(-1)=0.令y=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1),即可证明.
法二:由已知可得:f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x),即可证明.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则
x
2
x
1
>1
,可得f(x2)=
f(
x
2
x
1
•
x
1
)
=
f(
x
2
x
1
)+f(
x
1
)
,利用
x
2
x
1
>1
,当x>1时,f(x)>0.即可证明.
(3)由已知可得:f(2×2)=f(2)+f(2)=2,不等式f(x)+f(x-3)≤2=f(4),化为f(x(x-3)≤f(4),由于f(x)是偶函数,可得f(|x(x-3)|)≤f(4),再利用单调性即可得出.
(1)证明:法一:令x=y=1,有f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0.
令x=y=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.
令y=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1),
∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称,
∴f(x)是偶函数
法二:f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x),
∴f(x)=f(-x)
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则
x2
x1>1,
∴f(x2)=f(
x2
x1•x1)=f(
x2
x1)+f(x1),
∵
x2
x1>1,当x>1时,f(x)>0.
∴f(x2)−f(x1)=f(
x2
x1)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,
∴f(-x)在(-∞,0)上单调递减.
(3)∵f(2×2)=f(2)+f(2)=2,
∴f(x)+f(x-3)≤2=f(4),
∴f(x(x-3)≤f(4),∵f(x)是偶函数,
∴f(|x(x-3)|)≤f(4),∴
x≠0
x−3≠0
|x(x−4)|≤4,解得-1≤x≤4且x≠0,3.
∴解集为[-1,0)∪(0,3)∪(3,4]
点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性,考查了构造法和适当取值,考查了推理能力和计算能力,属于难题.