已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①f(xy)=f(x)+f(y);②f(2)=1;③当

1个回答

  • 解题思路:(1)法一:令x=y=1,可得f(1)=0.令x=y=-1,可得f(-1)=0.令y=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1),即可证明.

    法二:由已知可得:f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x),即可证明.

    (2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则

    x

    2

    x

    1

    >1

    ,可得f(x2)=

    f(

    x

    2

    x

    1

    x

    1

    )

    =

    f(

    x

    2

    x

    1

    )+f(

    x

    1

    )

    ,利用

    x

    2

    x

    1

    >1

    ,当x>1时,f(x)>0.即可证明.

    (3)由已知可得:f(2×2)=f(2)+f(2)=2,不等式f(x)+f(x-3)≤2=f(4),化为f(x(x-3)≤f(4),由于f(x)是偶函数,可得f(|x(x-3)|)≤f(4),再利用单调性即可得出.

    (1)证明:法一:令x=y=1,有f(1)=f(1)+f(1),

    ∴f(1)=0.

    令x=y=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=0.

    令y=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1),

    ∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称,

    ∴f(x)是偶函数

    法二:f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x),

    ∴f(x)=f(-x)

    (2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则

    x2

    x1>1,

    ∴f(x2)=f(

    x2

    x1•x1)=f(

    x2

    x1)+f(x1),

    x2

    x1>1,当x>1时,f(x)>0.

    ∴f(x2)−f(x1)=f(

    x2

    x1)>0,

    ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,

    ∴f(-x)在(-∞,0)上单调递减.

    (3)∵f(2×2)=f(2)+f(2)=2,

    ∴f(x)+f(x-3)≤2=f(4),

    ∴f(x(x-3)≤f(4),∵f(x)是偶函数,

    ∴f(|x(x-3)|)≤f(4),∴

    x≠0

    x−3≠0

    |x(x−4)|≤4,解得-1≤x≤4且x≠0,3.

    ∴解集为[-1,0)∪(0,3)∪(3,4]

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.

    考点点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性,考查了构造法和适当取值,考查了推理能力和计算能力,属于难题.