解题思路：（1）将极限改写成
∫
a
−a
lim
t→
a
+
1
4
a
2
[f(t+a)−f(t−a)]dt
，因此只需要利用导数的定义求
lim
t→
a
+
1
4
a
2
[f(t+a)−f(t−a)]
即可
（2）利用积分中值定理
∫
a
−a
f(t)dt＝f(ξ)2a
，再根据m≤f（x）≤M就可以证明结论．
（1）
由于函数f（x）在（-∞，+∞）连续可导，
所以：
lim
t→a+
1
4a2
∫a−a[f(t+a)−f(t−a)]dt=
∫a−a
lim
t→a+
1
4a2[f(t+a)−f(t−a)]dt
=
∫a−a
lim
t→a+[
1
2a•
f(t+a)−f(t−a)
2a]dt
=
∫a−a[1/2a]
lim
t→a+
f(t+a)−f(t−a)
2adt
=
1
2a∫a−a
f′(a)
2adt
=
f(a)
4a2，
证明：
（2）
由于：
∫a−af(t)dt＝f(ξ)2a，ξ∈（-a，a），
∴|
1
2a
∫a−af(t)dt−f(x)|＝|f(ξ)−f(x)|，
又：m≤f（x）≤M，
∴f（ξ）≤M，-f（x）≤-m，
∴|
1
2a
∫a−af(t)dt−f(x)|≤M−m，证毕．
点评：
本题考点： 连续函数的性质．
考点点评： 此题考查利用导数的定义求极限和积分中值定理，要注意第一问不能用洛必达法则，因为a是常量．