已知定义在正实数集上的两个函数f(x)=(1/2)x^2+2ax,g(x)=3a^2·ln(x)+b,其中a>0,两曲线

2个回答

  • 两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同

    则这两条曲线在这个点相切,切线相同则切线斜率相等

    f'(x)=x+2a

    g'(x)=3a^2/x

    f'(x)=g'(x)

    x+2a=3a^2/x

    (x+3a)(x-a)=0

    x=a或者x=-3a

    由于a>0 则-3a0

    所以x=-3a不满足要求

    所以

    x=a为其公共点的横坐标

    f(a)=a^2/2+2a^2=5a^2/2

    g(a)=3a^2lna+b

    f(a)=g(a)

    b=a^2(5/2-3lna)

    b'=2a(5/2-3lna)+a^2*(-3/a)=0

    a>0 则a=e^(1/3)

    此时

    b的最大值为3e^(2/3)/2

    显然g(x)在x>0时是单调增函数

    而f(x)的对称轴为x=-2a

    由于a>0

    所以f(x)在x>0时也是单调增函数

    在x=a时两函数相等

    在x趋近于0时

    f(x)趋近于0

    g(x)趋近负无穷

    由于两者在x>0上都是单调增函数

    所以

    在(0,a]上f(x)≥g(x)

    利用函数的凹凸性

    f''(x)=1>0

    其整个定义域为凹函数

    g''(x)=3a^2/(-x^2)

    x>0时

    g''(x)为凸函数

    两者在x>0上都是单调增加的

    且只有一个交点

    所以

    f(x)>=g(x)

    结合图形分析可能更容易理解一些

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