Question

已知在等腰△ABC中,AB=AC,D为△ABC内的一点,且有∠ABD=2∠ACD.  （1）如图①

Answer 1

提示

⑴先证⊿BDA≌⊿BDC(SAS)∴DA＝DC从而∠DAC＝∠DCA＝½∠ABD＝15°

⑵BC/BD＝sin∠BDC/sin∠BCD＝sin135°/sin30°＝sin45°/sin30°＝√2＝sin90°/sin45°＝BC/BA∴BD＝BA从而∠BAD＝∠BDA＝﹙180°－∠ABD﹚/2＝75°,∠DAC＝∠DCA＝15°

⑶设∠ACD＝α(0°＜α＜45°).则∠ABD＝2α,∠DBC＝30°－α,∠BDC＝120°＋α,∠BAC＝120°－2α;

BC/BD＝sin﹙120°＋α﹚/sin30°＝2sin﹙60°－α﹚

BC/BA＝sin﹙120°－2α﹚/sin﹙30°＋α﹚＝2sin(60°－α)cos(60°－α)/sin﹙30°＋α﹚＝2sin﹙60°－α﹚＝BC/BD;∴BD＝BA；

在△ABC的内部作∠BAE＝∠CAD交∠ABD的平分线于E,连接BD、BE；则⊿ACD≌⊿ABE(ASA)≌⊿DBE(SAS)∴AD＝AE＝ED即△ADE是等边△,∠AED＝60°,从而∠DAC＋∠ACD＝∠EAB＋∠ABE＝180°－∠AEB＝180°﹣﹙360°－60°﹚/2＝30°.