Question

已知f(x)＝x²－2ax＋2(x∈R),当 x∈［－1,＋∞)时,f(x)≥a恒成⽴,求a的取

Answer 1

解法一：f≥（x）=（x-a）^2+2-a^2,此二次函数图象的对称轴为x=a．

①当a∈（-∞,-1）时,f（x）在[-1,+∞）上单调递增,f（x）min=f（-1）=2a+3．

要使f（x）≥a恒成立,只需2a+3≥a,解得-3≤a＜-1．

②当a∈[-1,+∞）时,f（x）min=f（a）=2-a^2,

要使f（x）≥a恒成立,只需2-a^2≥a,解得-1≤a≤1．

综上所述,a的取值范围为-3≤a＜-1或-1≤a≤1,

即a的取值范围为[-3,1]．

解法二：令g（x）=x^2-2ax+2-a,由已知,得x^2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞）上恒成立,

则①△=4a^2-4（2-a）≤0,解得-2≤a≤1,

或②

△＞0

a＜−1

g(−1)≥0

解得-3≤a≤1．

综上所述,a的取值范围为-2≤a≤1或-3≤a≤1,

即a的取值范围为[-3,1]