如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC

1个回答

  • 解题思路:根据已知条件的特点,取BC的中点O,连接AO、SO,既可证明AO⊥平面BSC,又可证明SO⊥平面ABC,根据面面垂直的判定定理可得到结论.

    证明:取BC的中点O,连接AO、SO.

    ∵AS=BS=CS,SO⊥BC,

    又∵∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,

    从而AO⊥BC.

    设AS=a,又∠BSC=90°,则SO=

    2

    2a.

    又AO=

    AB2−BO2=

    a2−

    1

    2a2=

    2

    2a,

    ∴AS2=AO2+SO2,故AO⊥OS.

    从而AO⊥平面BSC,又AO⊂平面ABC,

    ∴平面ABC⊥平面BSC.

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线,属于中档题.