Question

在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,MN交∠BCA的平分线于点E

Answer 1

证明：

1）由题∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCD (角平分线）,所以2∠ACE+2∠ACF=180,所以∠ECF=90,即EC⊥CF.又AECF为矩形,有AF⊥CF,所以EC‖AF,得∠FAC=∠ACE,∠AFE=∠FEC.结合MN‖BC,∠FEC=∠ECB=∠ACE(内错角,角平分线）.所以∠FAC=∠ACE=∠AFE,即OF=OA.同理可证OF=OC,所以OA=OC,即四边形AECF是矩形时,O为AC的中点.

2）当满足∠ACB＝90时,∠ECB=∠ACE=∠FEC=45度.所以△CEF为等腰直角三角形,即EC=CF.又由1)中证明可得OC=OF=OA,(O为中点）,可以由∠AFO+∠FAO+∠OFC+∠OCF=180,2∠AFO+2∠OFC=180,即∠AFO+∠OFC=90;所以∠AFC为直角,同理可证∠AEC=90度,所以四边形AECF是正方形（已经证明EC=CF）.