（2010•韶关模拟）设Sn为数列{an}的前n项 - 知识问答

（2010•韶关模拟）设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=（m+1）-man（m为常数，且m＞0

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解题思路：（1）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1，进而得出a_n和a_n-1的关系整理得
a
n
a
n−1
＝
m
1+m
，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{a_n}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据b_n=f（b_n-1）整理可得
1
b
n
−
1
b
n−1
＝1
进而推知数列{b_n}为等差数列，首项为2a₁，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的b_n代入
{
2
n+1
b
n
}
，再通过错位相减法求得T_n
（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴
an
an−1＝
m
1+m（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为[m/1+m]的等比数列．
（2）由（1）得，q=f（m）=[m/1+m]，b₁=2a₁=2．
∵bn＝f(bn−1)＝
bn−1
1+bn−1，
∴[1
bn＝
1
bn−1+1，即
1
bn−
1
bn−1＝1（n≥2）．
∴{
1
bn}是首项为
1/2]，公差为1的等差数列．
∴[1
bn＝
1/2+(n−1)•1＝
2n−1
2]，即bn＝
2
2n−1（n∈N^*）．
（3）由（2）知bn＝
2
2n−1，则
2n+1
bn＝2n(2n−1)．
所以Tn＝
22
b1+
23
b2+
24
b3++
2n
点评：
本题考点：等比数列的性质；数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．

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