(1) S＝
|OA||y|＝
.(2)见解析。
(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A
,渐近线方程：y＝±
x,然后可设出过点A与渐近线y＝
x平行的直线方程为y＝
，即y＝
x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.
(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b 2＝2.
由
得x 2－2bx－b 2－1＝0（*）
设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，然后证
·
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)=2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明
·
＝0即可.
(1)双曲线C 1：
－y 2＝1，左顶点A
，渐近线方程：y＝±
x.
过点A与渐近线y＝
x平行的直线方程为y＝
，即y＝
x＋1.
解方程组
得
所以所求三角形的面积为S＝
|OA||y|＝
.
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，
故
＝1，即b 2＝2.
由
得x 2－2bx－b 2－1＝0.
设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则
又y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋b)，所以
·
＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2
＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0.
故OP⊥OQ.