Question

设 f (x)= x,x∈Q = 0,x∈R\Q 证明：1、f (x)在x=0连续 2、f (x)在非零的x处都不连续

Answer 1

证明：

1、f(0)=0,任δ>0,任x∈（-δ,δ）,有|f(x)-f(0)|1/(b-a),则总有bn-an>1,即有正整数m满足anε

若x0∈RQ,则f(x0)=0

取x1∈(x0-δ,x0),x2∈(x0,x0+δ),且x1,x2∈Q

则max(|f(x1)-f(x0)|,|f(x2)-f(x0)|)>|x0|

即存在ε=|x0|/2,使得任意δ>0,有x满足x属于x∈B0(0,δ)且x∈Q,

使得|f(x)-f(x0)|=|x0|>ε

综上可证得f (x)在非零的x处都不连续