Question

线性代数题：证明：如果n阶实对称矩阵A满足A∧5-2A∧4+5A∧3-8A∧2-9E=0,则A一定是正定矩阵.

Answer 1

证:设a是A的特征值.

则 a^5-2a^4+5a^3-8a^2-9 是 A^5-2A^4+5A^3-8A^2-9E 的特征值.

而 A^5-2A^4+5A^3-8A^2-9E=0,零矩阵的特征值只能是0

所以 a^5-2a^4+5a^3-8a^2-9 = 0

易知,当a 0.

所以A的特征值都大于0

所以A是正定矩阵.