Question

若函数f（x）=x-1-alnx（a＜0）对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|[1x1-1

Answer 1

解题思路：确定函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数y=[1/x]在（0，1]上是减函数，设h（x）=f（x）+[4/x]=x-1-alnx+[4/x]，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x

1

-

1

x

2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，从而可求实数a的取值范围．

当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，

又函数y=

1/x]在（0，1]上是减函数

不妨设0＜x₁≤x₂≤1

则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），

∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|[1

x1-

1

x2|，

即f（x₂）+4×

1

x2≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4/x]=x-1-alnx+[4/x]，

则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|[1

x1-

1

x2|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数

∵h'（x）=1-

a/x]-[4

x2=

x2−ax−4

x2，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，

即a≥x-

4/x]在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-[4/x]在（0，1]内的最大值．

而函数y=x-[4/x]在（0，1]是增函数，∴y=x-[4/x]的最大值为-3

∴a≥-3，

又a＜0，∴a∈[-3，0）．

故答案为：[-3，0）．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，考查转化思想，是一道综合题．