Question

证明：有无穷多个n，使多项式n 2 +n+41

Answer 1

证明：（1）要使n（n+1）+41是合数．

则只要n（n+1）是41的倍数就可以．

要使n（n+1）是41的倍数，则n=41k或n=41k-1，

当n=41k（k为自然数）时，原式=41k ²+41k+41=41（k ²+k+1），

同理，当n=41k-1时，原式=41k ²+41k+41=41（k ²+k+1），

满足此条件的自然数k有无数个，所以对应的n也有无穷多个；

（2）使多项式n ²+n+41为43的倍数，

设n ²+n+41=43k，（k是正整数）

n ²+n-2=43（k-1），

（n+2）（n-1）=43（k-1），

要使n（n+1）+41是43的倍数，

则只要（n+2）（n-1）是43的倍数就可以．

则n=43k-2或n=43k+1（k=0、1、2、3…），

当n=43k-2时，原式=（43k） ²+3×43k+43=43（k ²+3k+1），

同理可得，当n=43k+1时，原式=（43k） ²+3×43k+43=43（k ²+3k+1），

满足此条件的k有无穷多个，

故表示为43的倍数的n也有无穷多个．