Question

（2009•黄冈模拟）已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）即a_n=a_n-1+2^n-1再用累加法求解．

（Ⅱ）由（I）求得b_n，再观察T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）可用裂项相消法求解．

（Ⅲ）受（II ）的启发，我们可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：

T

n

＜

1

6

，即条件①满足；又

0＜m＜

1

6

，

∴

T

n

＞m⇔

1

2

(

1

1+2

−

1

2

n+1

+1

)＞m⇔

2

n+1

＞

3

1−6m

−1⇔n＞lo

g

2

(

3

1−6m

−1)−1＞0

．

因为是恒成立，所以取n₀等于不超过

lo

g

2

(

3

1−6m

−1)

的最大整数，则当n≥n₀时，T_n＞m（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，

a

n

2

n

＝(

a

2

)

n

≥

a

2

，∴

a

n

≥

a

2

•

2

n

，．（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，

a

n

2

n

＝(

a

2

)

n

≤

a

2

，∴

a

n

≤

a

2

•

2

n

，分别放缩研究．

（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）

即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）（1分）

∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2++2²+5

=2^n-1+2^n-2++2²+2+1+2

=2ⁿ+1（n≥3）（3分）

检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．（4分）

（Ⅱ）由于bnf(n)＝

1

(2n+1)(2n+1+1)•2n−1＝

1

2•

(2n+1+1)−(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)＝

1

2(

1

2n+1−

1

2n+1+1)

故Tn＝b1f(1)+b2f(2)++bnf(n)＝

1

2[(

1

1+2−

1

1+22)+(

1

1+22−

1

1+23)++(

1

2n+1−

1

2n+1+1)]

=[1/2(

1

1+2−

1

2n+1+1)＜

1

2•

1

1+2＝

1

6]．（9分）

（Ⅲ）（ⅰ）当a=2时，由（Ⅱ）知：Tn＜

1

6，即条件①满足；又0＜m＜

1

6，

∴Tn＞m⇔

1

2(

1

1+2−

1

2n+1+1)＞m⇔2n+1＞

3

1−6m−1⇔n＞log2(

3

1−6m−1)−1＞0．

取n

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和；不等式．

考点点评： 本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，具体到一般分类讨论等思想方法的运用．