如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A 1 B 1 - 知识问答

如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面边长AB=2，侧棱BB 1 的长为4，E为C

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（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），E（0，2，1），
∴
BE =（-2，0，1）．
∵
A 1 C =（-2，2，-4），
DB =（2，2，0），
∴
A 1 C •
BE =4+0-4=0且
A 1 C •
DB =-4+4+0=0，
∴
A 1 C ⊥
DB 且
A 1 C ⊥
BE ，
∵DB∩BE=B
∴A₁C⊥平面BDE；
（2）由（1）知
A 1 C =（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量，
∵
A 1 B =（0，2，-4），
∴cos＜
A 1 C ，
A 1 B ＞=
A 1 C •
A 1 B
|
A 1 C ||
A 1 B | =
30
6 ，
∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为
30
6 ．

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