Question

(本小题满分12分）某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关

Answer 1

(Ⅰ) 设椭圆的方程为＋＝1( a > b >0)，

由已知，2 a ＝4， a － c ＝1， a ＝2， c ＝1，

∴ b ＝，故椭圆的标准方程＋＝1.……3分

(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，

设直角三角形斜边所在直线方程为 y

＝ kx ＋ m ，斜边与椭圆的交点 A ( x ₁， y ₁)， B ( x ₂， y ₂)，

联立方程组 y=kx+m

＋＝1

得3 x ²＋4( kx ＋ m ) ²＝12，即(3＋4 k ²) x ²＋8 kmx ＋4 m ²－12＝0，

则Δ＝64 k ²m ²－4(3＋4 k ²)(4 m ²－12)＝48(4 k ²－ m ²＋3)>0，即4 k ²－ m ²＋3>0.

x ₁+ x ₂=" - " 8 km

3＋4 k ²

x ₁x ₂=， …………6分

y ₁y ₂＝( kx ₁＋ m )( kx ₂＋ m )＝ k ²x ₁x ₂＋ km ( x ₁＋ x ₂)＋ m ²＝ k ²－＋ m ²

＝，

要使△ AOB 为直角三角形，需使 x ₁x ₂＋ y ₁y ₂＝0

，

即＋＝0，所以7 m ²－12 k ²－12＝0， …………8分

即 m ²＝，故4 k ²－ m ²＋3＝4 k ²＋3－＝>0，

所以| AB |＝＝＝

＝

＝＝

＝≤.

当仅当16 k ²＝， k ＝±时，等号成立. …………10分

②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.

综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分

略