（1）证明：∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵OA⊥CD,
∴∠OAB+∠AGC=90°,
又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,
∴∠FBG+∠OBA=90°,
即∠OBF=90°,
∴OB⊥FB,
∵AB是⊙O的弦,
∴点B在⊙O上,
∴BF是⊙O的切线；
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（2）∵AC∥BF,
∴∠ACF=∠F,
∵CD=a,OA⊥CD,
∴CE=
1
2
CD=
1
2
a,
∵tan∠F=
3
4
,
∴tan∠ACF=
AE
CE
=
3
4
,
即
AE
1
2
a
=
3
4
,
解得AE=
3
8
a,
连接OC,设圆的半径为r,则OE=r-
3
8
a,
在Rt△OCE中,CE2+OE2=OC2,
即（
1
2
a）2+（r-
3
8
a）2=r2,
解得r=
25
48
a；
（3）证明：连接BD,
∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F（已证）,
∴∠DBG=∠F,
又∵∠FGB=∠BGF,
∴△BDG∽△FBG,
∴
DG
GB
=
GB
GF
,
即GB2=DG•GF,
∴GF2-GB2=GF2-DG•GF=GF（GF-DG）=GF•DF,
即GF2-GB2=DF•GF．