Question

AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC=θ，PA=AB=2r，求异面直线PB和AC的距离

Answer 1

解题思路：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值．

在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

设MH=x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD．

∴MD²=x²+[（2r-x）sinθ]²=（sin²+1）x²-4rsin²θx+4r²sin²θ=（sin²θ+1）[x-

2rsin2θ

1+sin2θ]²+

4r2sin2θ

1+sin2θ

即当x=

2rsin2θ

1+sin2θ时，MD取最小值

2rsinθ

1+sin2θ为两异面直线的距离．

由A、B、C成等差数列，可得B=60°；

由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得

tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=

3（1+

3）

设tanA、tanC是方程x²-（

3+3）x+2+

3=0的两根，解得x₁=1，x₂=2+

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查了点线面间的距离计算，函数思想的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．