Question

直线l:ax-y-1=0与双曲线C：x^2-2y^2=1相交于P,Q两点.求：当a为何值时,PQ距离的平方=4+4a^2

Answer 1

将y=ax-1代入双曲线方程,整理后,

(1-2a^2)x^2+4ax-3=0

由韦达定理,x1+x2=4a/(2a^2-1),

x1x2=3/(2a^2-1)

y1-y2=a(x1-x2)

PQ距离的平方=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

=(1+a^2)(x1-x2)^2

=4+4a^2=4(1+a^2)

所以4=(x1-x2)^2,

而(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2,

所以4=[4a/(2a^2-1)]^2-4*[3/(2a^2-1)]

解之,a^2=1,a=1,-1