Question

（2013•南开区二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝12(3n+Sn)对一切正整数n成立．

Answer 1

解题思路：（1）由已知可得S_n=2a_n-3n，进而得a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3，故a_n+1+3=2（a_n+3），数列{a_n+3}是等比数列，易求结果；（2）由（1）可知b_n=[n/3]a_n=n2ⁿ-n，由错位相减法可解；（3）先假设存在，由题意可得2^m+2^q=2ⁿ+2^p，即1+2^q-m=2^n-m+2^p-m，推出矛盾．

（1）由a_n=[1/2]（3n+S_n）可得S_n=2a_n-3n，故a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3

由待定系数法得a_n+1+3=2（a_n+3）又a₁+3=6≠0

∴数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．

∴a_n+3=6×2^n-1，

∴a_n=3（2ⁿ-1）．…（4分）

（2）由（1）可得b_n=[n/3]a_n=n2ⁿ-n，

∴B_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n） ①

∴2B_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n） ②

①-②得，-B_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）+

n(n+1)

2

化简可得B_n=2+(n−1)2n+1−

n(n+1)

2．…（9分）

（3）假设数列{a_n}存在构成等差数列的四项依次为：a_m、a_n、a_p、a_q（m＜n＜p＜q）

则3（2^m-1）+3（2^q-1）=3（2ⁿ-1）+3（2^p-1）∴2^m+2^q=2ⁿ+2^p．

上式两边同除以2^m，则1+2^q-m=2^n-m+2^p-m

∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，

∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．

∴数列{a_n}不存在构成等差数列的四项．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题为数列的综合应用，涉及由和求通项公式，错位相减法求和，属中档题．