Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F．

Answer 1

解题思路：（1）四边形AFCE是菱形．要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；

（2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程6²+（8-x）²=x²，由此可以得到该菱形的周长为4x．

（1）四边形AFCE是菱形．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，

则在△AOE与△COF中，

∠OAE＝∠OCF

AO＝CO

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF

∴四边形AFEC是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFEC是菱形；

（2）设AF=x，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AF=CF=x，BF=8-x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，

6²+（8-x）²=x²，

x=[25/4]，

即AF=[25/4]cm．

则菱形AFCE的周长为4x=25cm．

点评：

本题考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

考点点评： 本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．