Question

设A,B都是实对称矩阵,证明：存在正交矩阵P,使得（P^-1）AP=B的充分必要条件是A,B的特征值全部相同.

Answer 1

必要性:

因为（P^-1）AP=B,所以 A与B 相似,

而相似矩阵有相同的特征值,

所以A,B的特征值全部相同.

充分性:

由A,B都是实对称矩阵且A,B的特征值全部相同,设为 a1,a2,...,an

则存在正交矩阵C,D满足:

C^-1AC = diag(a1,a2,...,an),

D^-1BD = diag(a1,a2,...,an),

所以有 C^-1AC = D^-1BD

所以 B = D(C^-1AC)D^-1 = (DC^-1)A(CD^-1)

= (CD^-1)^-1A(CD^-1).

令 P = CD^-1

则 P^-1AP = B.

因为正交矩阵的逆,乘积仍是正交矩阵,

所以P是正交矩阵.

命题得证.