Question

证明：矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).

Answer 1

设 A是 m×n 的矩阵.

可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0

故两个方程是同解的.

同理可得 r(AA')=r(A')

另外 有 r(A)=r(A')

所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)