Question

已知|z|=1,且z为虚数,u=（z-a）/(1-az) (a∈R),求复数u的模.

Answer 1

因为这里没法给字母上面划横线,所以用 bar(z) 来表示z上面划横线,即z的共轭复数.

|z|=1, 所以 z*bar(z) = |z|^2 = 1. 所以：

1-az = z(1/z - a) = z(bar(z) - a)

而bar(z) - a = bar(z - a),因为a是实数.

所以,

u = (z-a) / (1-az)

= (z-a) / (z * bar(z-a))

= 1/z * (z-a)/bar(z-a)

所以,

|u| = |1/z * (z-a)/bar(z-a)|

= 1/|z| * |z-a| / |bar(z-a)|

= 1/1*|z-a| / |z-a| （一个复数和它的共轭复数模相等）

= 1