Question

各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足2（Sn+1）=an2+an（n∈Nn）（I）求数列{an}的通项公式；

Answer 1

解题思路：（I）通过仿写作差将和与项的递推关系转化为项间的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列{a_n}为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．

（II）求出数列{b_n}的通项，据通项特点，选择利用错位相减法求数列的前n项和．

（I）令n=1，则2（S₁+1）=a₁²+a₁

∴a₁=-1（舍）或a₁=2

当n≥2时，2（S_n+1）=a_n²+a_n
2（S_n-1+1）=a_n-1²+a_n-1

两式相减得

2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1

∵a_n＞0

∴a_n-a_n-1=1

∴数列{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1

∴a_n=n+1

（II）∵b_n=2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ

∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ

2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹

两式相减得

-T_n=2+2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=2+

2(1−2n)

1−2−(n+1)•2n+1

∴T_n=n•2ⁿ⁺¹

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 求数列的前n项和，首先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，当通项是一个等差数列与等比数列的乘积构成的新数列，利用错位相减法求和．