解题思路：（1）由题意求出导数，判断出点P与函数图象的关系，再把x=0代入求出f′（0），即所求切线的斜率；
（2）把x=x2代入解析式求出g（x），再求出g′（x）和临界点，再列出表格判断出函数的单调性，再求出函数的递增区间．
（1）∵f（x）=x2-2x-3，∴f′（x）=2x-2．
∵点P坐标是（0，-3），∴点P在曲线C上，则f′（0）=-2．
∴过点P且与曲线C相切的直线的斜率是-2．
（2）∵g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，
∴g′（x）=4x3-4x=4x（x+1）（x-1）
令g′（x）=0，得x=-1或x=0或x=2．
列表如下：
由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及导数与函数单调性的关系，属于中档题．