解题思路：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAE=∠BAE=∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=2CE，BE=2DE，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=EC，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠C=90°，
∴∠CAE=∠BAE=∠B=30°，
A、在Rt△ACE中，AE=2CE，故本选项正确；
B、∠B=∠CAE正确，故本选项错误；
C、∵∠DEA=90°-30°=60°，2∠B=2×30°=60°，
∴∠DEA=2∠B，故本选项错误；
D、在Rt△BDE中，BE=2DE，
∵AE平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=EC，
∴BC=EC+BE=EC+2EC=3EC，故本选项错误．
故选A．
点评：
本题考点： 线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
考点点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键．