Question

∑1/(n*(lnn)^p),其n从2到∞,求该式的收敛性.

Answer 1

p1是收敛,这是一个很著名的结论,要证明的话,就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p),当p>1时,为0,p1收敛,p∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散