Question

设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]d

Answer 1

解题思路：利用全微分方程的定义以及必要条件，求出f的表达式；然后利用多元函数全微分的计算以及凑微分法求解微分方程．

因为 Pdx+Q dy=0 是全微分方程的一个必要条件是：[∂P/∂y]=[∂Q/∂x]，

所以

x²+2xy-f（x）=f″（x）+2xy，

即：

f″（x）+f（x）=x²． （1）

因为齐次微分方程 f″（x）-f（x）=0 的特征方程为 λ²+1=0，

特征根为 λ_1，2=±i，

所以 f″（x）-f（x）=0 的通解为 f₁（x）=C₁cosx+C₂sinx．

因为非齐次项为 x²，且 λ=0 不是特征方程的根，

故设方程（1）的一个特解为 y*=Ax²+Bx+C．

代入（1）可得，A=1，B=0，C=-2，

所以 y*=x²-2．

故方程 （1）的通解为 f（x）=C₁cosx+C₂sinx-x²-2．

因为 f（0）=0，f′（0）=1，解得 C₁=2，C₂=1．

所以 f（x）=2cosx+sinx+x²-2．

故要求解的方程为

0=[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x²y]dy

=[（2cosx+sinx）y+xy²+2y]dx+[-2sinx+cosx-2x+x²y]dy

=[（2cosx+sinx）y dx+（-2sinx+cosx）dy]+（xy²dx+x²ydy）-2（ydx+xdy）

=d[（cosx-2sinx）y]+[1/2]d（x²y²）-d（xy）

=d((cosx−2sinx)y+

1

2x2y2+2xy)．

所以 （cosx-2sinx）y+[1/2]x²y²+2xy=C．

故 f（x）=2cosx+sinx+x²-2，

所求通解为

（cosx-2sinx）y+[1/2]x²y²+2xy=C．

点评：

本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解；多元函数全微分的计算；全微分方程的定义．

考点点评： 本题综合性较强，是一个中档型题目，考察了利用微分方程解的结构求解二阶常系数非齐次微分方程通解的方法、全微分方程的定义与必要条件．