Question

已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．

Answer 1

解题思路：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x²的系数，

将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值

（2）通过对x分别赋值1，-1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．

（1）由已知C_m¹+2C_n¹=11，∴m+2n=11，

x²的系数为C_m²+2²C_n²=

m(m−1)

2+2n（n-1）=

m2−m

2+（11-m）（[11−m/2]-1）=（m-[21/4]）²+[351/16]．

∵m∈N^*，∴m=5时，x²的系数取得最小值22，

此时n=3．

（2）由（1）知，当x²的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．

设这时f（x）的展开式为

f（x）=a₀+a₁x+a₂x²++a₅x⁵，

令x=1，a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³，

令x=-1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1，

两式相减得2（a₁+a₃+a₅）=60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．

点评：

本题考点： 二项式系数的性质；二项式定理的应用．

考点点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．