解题思路:(I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可.
(II)令h(x)=f(x)-([1/2]x2+x+1)=ex-[1/2]x2-x-1,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出.
(III)利用作差法得
f(a)+f(b)
2
-
f(b)−f(a)
b−a
=
e
a
2(b−a)
•[(b-a+2)+(b-a-2)•eb-a].构造函数,令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用导数的符号研究其单调性,可得g(x)的符号,从而得到
f(a)+f(b)
2
与
f(b)−f(a)
b−a
的大小关系.
(1)由于f(x)=ex 的反函数为g(x)=lnx (x>0),
则点(1,0)处的切线斜率为k=g′(1)=1,故点(1,0)处的切线方程为y-0=1×(x-1),
即x-y+1=0.
(2)证明:设h(x)=f(x)-([1/2]x2+x+1)=ex-[1/2]x2-x-1,
则h′(x)=ex-x-1,∵h″(x)=ex-1,故当x<0时,h″(x)<0,h′(x)为减函数.
当x>0时,h″(x)>0,h′(x)为增函数.
故当x=0时,h′(x)取得最小值为0,故有h′(x)≥0恒成立,
故函数h(x)在R上是增函数,故函数h(x)最多有一个零点.
再根据h(0)=0,可得函数h(x)有唯一零点.
(3)设a<b,∵
f(a)+f(b)
2-
f(b)−f(a)
b−a=
(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)
2(b−a)=
(2+b−a)•ea+(b−2−a)•eb
2(b−a)
=
(b−a+2)+(b−a−2)•eb−a
2(b−a)•ea=
ea
2(b−a)•[(b-a+2)+(b-a-2)•eb-a].
由于
ea
2(b−a)>0,故只需考虑 (b-a+2)+(b-a-2)•eb-a的符号即可.
令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x-1)ex.
在(0,+∞)上,g″(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,g(x)>0.
∵当x>0时,g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,∴
(b−2+a)+(b−2+a)eb−a•ea
2(b−a)>0,
即
f(a)+f(b)
2>
f(b)−f(a)
b−a.
点评:
本题考点: 反函数.
考点点评: 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.