Question

（2014•天津二模）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，O，D均为中点，推断出A₁C∥OD，

进而根据线面平行的判定定理得出A₁C∥平面AB₁D．

（Ⅱ）利用A₁C∥OD，推断出∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，令正三棱柱的棱长为1，则DB₁，OB₁，OD均可求得，利用余弦定理求得cos∠ODB₁即可得到答案．

（Ⅲ）：依据在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，推断出四边形BCC₁B₁是正方形，通过M为CC₁的中点，D是BC的中点，推断出△B₁BD≌△BCM，得出∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，通过∠BB₁D+∠BDB₁=[π/2]求得∠CBM+∠BDB₁=[π/2]，进而判断出BM⊥B₁D，通过△ABC是正三角形，D是BC的中点，推断出AD⊥BC，利用线面垂直的判定定理推断出AD⊥平面BB₁C₁C，进而根据线面垂直的性质求得AD⊥BM，进而推断出BM⊥平面AB₁D，利用线面垂直的性质可推断出MB⊥AB₁．

（Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，

∵O，D均为中点，

∴A₁C∥OD，

∵A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D．

（Ⅱ）∵A₁C∥OD，

∴∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，

令正三棱柱的棱长为1，则DB₁=[5/2]，OB₁=

2

2，OD=[1/2]AC=

2

2，

在△ODB₁中，cos∠ODB₁=

O

B21+D

B21−OD2

2OB1•DB1=

10

4，

∴异面直线A₁C与B₁D所成焦的余弦值为

10

4．

（Ⅲ）证明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，

∴四边形BCC₁B₁是正方形，

∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，

∴△B₁BD≌△BCM，

∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，

∵∠BB₁D+∠BDB₁=[π/2]

∴∠CBM+∠BDB₁=[π/2]，

∴BM⊥B₁D，

∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面BB₁C₁C，

∵BM⊂平面BB₁C₁C，

∴AD⊥BM，

∵AD∩B₁D，

∴BM⊥平面AB₁D，

∵AB₁⊂平面AB₁D，

∴MB⊥AB₁．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面平行，线面垂直的性质和判定定理．立体几何在求二面角的时候，常转化为平面几何的问题易于解决．