如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF.

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  • 解题思路:方法一:连接CE,由与EF是线段AC的垂直平分线,故AE=CE,再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC,故可得出△AOE≌△COF,故AE=CF,所以四边形AFCE是平行四边形,再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形,故可得出结论.

    方法二:首先证明△AOE≌△COF,可得OE=OF,进而得到AC垂直平分EF,再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF.

    证明:连接CE,

    ∵EF是线段AC的垂直平分线,

    ∴AE=CE,OA=OC,

    ∵AE∥BC,

    ∴∠ACB=∠DAC,

    在△AOE与△COF中,

    ∠ACB=∠DAC

    OA=OC

    ∠AOE=∠COF,

    ∴△AOE≌△COF,

    ∴AE=CF,

    ∴四边形AFCE是平行四边形,

    ∵AE=CE,

    ∴四边形AFCE是菱形,

    ∴AE=AF.

    另法:∵AD∥BC,

    ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,

    ∠OAE=∠OCF

    OA=OC

    ∠AOE=∠COF,

    ∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚,

    ∴OE=OF,

    ∴AC垂直平分EF,

    ∴AE=AF.

    点评:

    本题考点: 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.