Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求h（x）的最小值；

（Ⅱ）利用两切线的斜率互为倒数，可得

1

x

2

−a＝

ln

x

2

−a(

x

2

−1)

x

2

，从而可得e^a-ae-1=0，令F（a）=e^a-ae-1，确定其单调性，即可得出结论．

（Ⅰ）h'（x）=ex+

1

x+1−2，…（1分）

令p（x）=ex+

1

x+1−2，

因为x≥0，

所以p′(x)＝ex−

1

(x+1)2＝

(x+1)2ex−1

(x+1)2≥0，…（2分）

所以p（x），即h'（x））在[0，+∞）上递增，

所以h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上递增，…（4分）

所以h（x）_min=h（0）=1…（5分）

（2）证明：设g（x）的切点（x₁，y₁），f（x）的切点（x₂，y₂），

由

g′(x1)＝ex1＝

y1

x1

y1＝ex1，解得

x1＝1

y1＝e

k＝e，…（7分）

所以

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，正确构建函数是关键．