Question

设向量组a1,a2,a3线性无关,证明:向量组B1=a1+2a2+a3,B2=a1+a2+a3,B3=a1+3a2+4a

Answer 1

考虑M=

1 2 1

1 1 1

1 3 4是个可逆矩阵

A=(a1,a2,a3)

B=(b1,b2,b3)

MA =B

既然 A,M满秩,B一定满秩,因此所述三个向量线性无关

或者从定义,如果存在c1,c2,c3使得c1b1 +c2 b2 + c3 b3 =0,c是c1,c2,c3为其值得向量

则0=cB = cMA

既然A是线性无关组构成的矩阵,0=CMA得到cM=0（线性无关的定义）

而M可逆,CM=0 => cMM' = 0M' =0,也就是CE = 0,C=0

因此B线性无关