Question

数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)

Answer 1

1.

a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1

S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2

S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4

S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8

a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³

猜想：an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)

证：

n=1时,a1=(2-1)/1=1表达式成立.

假设当n=k(k∈N+)时,表达式成立,即ak=(2^k -1)/2^(k-1),则当n=k+1时,

Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)

S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)

a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]

表达式同样成立,k为任意正整数,因此对于任意正整数n,表达式恒成立.

数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)

2.

bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1

n≥1 2ⁿ-1≥1>0,数列{bn}各项均为正.

1/bn=1/(2ⁿ-1)

1/b1=1/(2-1)=1