Question

在如图中，有六个不同的正方形，把1-9九个自然数填入九个○内，使每个正方形的四个顶点上的和相等．

Answer 1

解题思路：为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如下图所示．如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：

a₁+a₂+b₁+b₂=S，a₂+b₂+a₃+b₃=S，

b₁+b₂+c₁+b₂=S，a₂+b₃+b₂+b₁=S，

b₂+b₂+b₃+c₃=S，a₁+a₃+c₃+c₁=S．

将上面的六个等式相加可得到：

2（a₁+a₃+c₃+c₁）+3（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=6S．则4b₂=S

4（a₁+a₃+c₃+c₁）+4（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=9S．

于是有：

4（a₁+a₂+a₃+b₁+b₂+b₃+c₁+b₂+c₃）=4×45=9S．

9S=4×45

S=20．

这就说明每个正方形角上四个数字之和为20．

所以：b₂=5．

从而得到：a₁+a₂+b₁=a₂+a₃+b₃=15，

b₁+c₁+b₂=b₂+c₃+b₃=15．

由上面两式可得：a₁+b₁=a₃+b₃，b₁+c₁=b₃+c₃．

如果a₂为奇数，则a₁+b₁和a₃+b₃均为偶数．

①若a₁为奇数，a₃为偶数，则b₁为奇数，b₃为偶数．因为a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂为偶数，则c₁为偶数，c₃为奇数．但是a₁+a₂+5+b₁=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾．

②若a₁为偶数，a₃为偶数，则b₁也为偶数，b₃也为偶数．因为a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂为奇数，则c₁为偶数，c₃为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾．

③若a₁为奇数，a₃为奇数，则b₁、b₃也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾．

④若a₁为偶数，a₃为奇数，情况与①相同．

综合上述，a₂必为偶数．由对称性易知：b₂、b₂、b₁也为偶数．因此a₁、a₃、c₃、c₁全为奇数．

这样，就比较容易找到此解．

根据题意可得：

点评：

本题考点： 凑数谜．

考点点评： 本题的关键是把中心点的数确定，然后再从奇偶去考虑解答即可．