已知函数f(x)＝exa+aex(a＞0，a∈R) - 知识问答

已知函数f(x)＝exa+aex(a＞0，a∈R)是R上的偶函数．

1个回答

解题思路：（1）根据f（x）是偶函数，可得f（-x）=f（x），即
e
−x
a
+
a
e
−x
＝
e
x
a
+
a
e
x
，由此求得a的值．
（2）由（1）得
f(x)＝
e
x
+
1
e
x
，设0≤x₁＜x₂，计算（x₁）-f（x₂）=
e
x
1
+
1
e
x
2
-（
e
x
2
+
1
e
x
2
）=
(e
x
1
−e
x
2
)
(e
x
1
+x
2
−1)
e
x
1
+x
2
＜0，可得函数f（x）
在[0，+∞）上是增函数．
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即
e−x
a+
a
e−x＝
ex
a+
a
ex，…（2分）
整理得(a−
1
a)(ex−
1
ex)＝0，得a−
1
a＝0，又a＞0，∴a=1．…（6分）
（2）由（1）得f(x)＝ex+
1
ex，设0≤x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=ex1+
1
ex2-（ex2+
1
ex2）=
(ex1−ex2)(ex1+x2−1)
ex1+x2．
由题设可得，ex1−ex2＜0，ex1+x2− 1＞0，ex1+x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
点评：
本题考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
考点点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．

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