解题思路：将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将a2+6b+b2+8c+c2+2a转化为偶次方的和的形式（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0；最后根据非负数的性质解答．
∵a2+6b=-17，b2+8c=-23，c2+2a=14，
∴a2+6b+b2+8c+c2+2a=-26，
∴（a2+2a+1）+（b2+6b+9）+（c2+8c+16）=0，
即（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0，
∴a+1=0，即a=-1；b+3=0，即b=-3；c+4=0，即c=-4；
∴a+b+c=-8．
故答案是：-8．
点评：
本题考点： 配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
考点点评： 本题重点考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方．解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，然后由非负数的性质：偶次方解答．