解题思路：因为对称轴固定，区间不固定，须分轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间三种情况讨论，找出g（t）的表达式，再求其最大值．
因为f（x）=-x2+4x-1开口向下，对称轴为x=2，所以须分以下三种情况讨论
①轴在区间右边，t+1≤2⇒t≤1，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t+1）=-t2+4t-1．
故g（t）=-t2+4t-1．
②轴在区间中间，t＜2＜t+1⇒1＜t＜2，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（2）=-22+4×2-1=3．
故g（t）=3．
③轴在区间左边，t≥2，f（x）=-x2+4x-1在[t，t+1]上的最大值为f（t）=-t2+2t+2．
故g（t）=-t2+2t+2．
∴g（t）=
−t2+4t−1(t≤1)
3(1＜t＜2)
−t2+2t+2(t≥ 2)，
∴g（t）的最大值为3
故答案为；3
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题的实质是求二次函数的最值问题，关于给定解析式的二次函数在不固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论