Question

一道初三数学题Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作圆O交AC边于点D,是边BC的中点,连结DE. （1）求证

Answer 1

⑴ 证明 连接BD

∵ AB是圆O直径

∴ ∠ADB=90°

在 Rt△BDC中,E是BC的中点

∴ BE=DE

∴ ∠EBD=∠EDB… … … … ⑴

∵ OB=OD

∴ ∠OBD=∠ODB… … … … ⑵

又 ∵ ∠ABC=90°

∴ 将 ⑴ ⑵两边分别相加得：

∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB=90°

∴ DE⊥OD

∴ 直线DE是圆O的切线

⑵ 过O作OG⊥AD于G,连接OD

∵ AO=OD

∴ G是AD的中点

∵ OF=CF BE=EC

∴ EF‖OB 则 DE‖AB

∴D是AC的中点,则CD=AD

又∵ OD⊥DE

∴ OD⊥AB

在Rt△AOD中,G是AD的中点

∴ OG=1/2 AD=GD GC=GD+CD=3/2 AD

∴ tan∠ACO=OG/GC=(1/2 AD)/(3/2 AD )=1/3