Question

（1）求证：“{an}是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使an=kn+b对一切n∈N*都成立”；

Answer 1

解题思路：（1）根据等差数列的定义进行证明．（2）根据等差数列的定义推导通项公式，

（1）充分性．因为a_n=kn+b对一切n∈N^*都成立，所以a_n+1=k（n+1）+b，

两式相减得a_n+1-a_n=kn+b-[k（n+1）+b]=k为常数，所以：{a_n}是等差数列．

必要性：若：{a_n}是等差数列，设公差为k，a_n=kn+b=a₁+（n-1）k=kn+a₁-k

取b=a₁-k，则a_n=kn+b成立．

（2）假设存在等差数列{a_n}满足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*），设a_n=kn+b，代入a_n=a_n²-na_n+1，得（k²-k）n²+（2bk-b-k）n+b²+1-k-b=0，

从而

k2−k＝0①

2bk−b−k＝0②

b2+1−k−b＝0③，由①得k=0或k=1．若k=0，代入②得b=0不满足③．

当k=1时，解得b=1，所以a_n=n+1．

故等差数列{n+1}满足性质．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列的定义和证明，利用定义是解决本题的关键，考查学生的运算能力．