Question

双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为___

Answer 1

解题思路：设P到右准线距离为d，则d≥a-

a

2

c

，求出P到右焦点的距离，P到左焦点的距离，利用双曲线的定义，结合d≥a-

a

2

c

，建立不等式，即可确定双曲线离心率的范围．

由题意，设P到右准线距离为d，则d≥a-

a2

c．

根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，

∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，

∴P到左焦点的距离为6d，

∴6d-ed=2a，

∴d=[2a/6−e]（e＜6），

∴[2a/6−e]≥a-

a2

c，

∴[2/6−e≥1−

1

e]，

∴e²-5e+6≥0，

∴e≤2或e≥3，

∵1＜e＜6，

∴1＜e≤2或3≤e＜6．

故答案为：1＜e≤2或3≤e＜6．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．