Question

已知二次函数y=f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且y=f（x）的两个零点的差为2，求y=f（x）的

Answer 1

解题思路：设出二次函数f（x）的解析式ax²+bx+c （a≠0），由图象过点（0，3）可得c的值；由对称轴为x=2，且y=f（x）的两个零点的差为2，可得a、b的大小．

设f（x）=ax²+bx+c （a≠0），

∵f（x）的图象过点（0，3），∴c=3；

又f（x）的对称轴为x=2，∴−

b

2a=2即b=-4a，

∴f（x）=ax²-4ax+3（a≠0）；

设方程ax²-4ax+3=0（a≠0）的两个实根为 x₁，x₂，且x₁＞x₂，

则依题意：x1+x2＝4，x1x2＝

3

a，x1−x2＝2，

∴x₁=3，x₂=1，∴

3

a＝x1x2＝3；

∴a=1，b=-4；

∴y=f（x）的解析式为f（x）=x²-4x+3．

点评：

本题考点： 函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查了函数解析式的求法以及二次函数的图象与对称轴、函数零点等知识，是基础题．