Question

（2011•门头沟区一模）已知数列{an}满足以下两个条件：①点（an，an+1）在直线y=x+2上，②首项a1是方程3

Answer 1

解题思路：（I）根据已知a₁=1，a_n+1=a_n+2，所以数列{a_n}是一个等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（II）数列{a_n}的前n项和S_n=n²，b_n=3^n-1，所以数列{b_n}的前n项和

T

n

＝

1−

3

n

1−3

＝

3

n

−1

2

，由T_n≤S_n，知

3

n

−1

2

≤

n

2

，由此能解出n的值．

（I）根据已知a₁=1，a_n+1=a_n+2即a_n+1-a_n=2=d，（2分）

所以数列{a_n}是一个等差数列，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1（4分）

（II）数列{a_n}的前n项和S_n=n²（6分）

等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，所以q=3，b_n=3^n-1（9分）

数列{b_n}的前n项和Tn＝

1−3n

1−3＝

3n−1

2（11分）

T_n≤S_n即

3n−1

2≤n2，又n∈N^*，所以n=1或2（14分）

点评：

本题考点： 数列递推式；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列前n项和的应用．