Question

证明：有限群的每个共轭类的元素个数是群阶数的因子

Answer 1

考虑有限群在自身上的共轭作用, 则每个共轭类是一个轨道.

每个轨道的长度都是群的阶数的因子, 这对有限群的群作用都成立.

如果对群作用不熟, 也可以这样考虑:

设群为G, 取定一个元素x∈G.

则G中满足g^(-1)xg = x的元素g构成了G的一个子群H(称为x的中心化子).

若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha.

x所在的共轭类的元素一一对应于H的右陪集, 元素个数 = |G|/|H|, 是|G|的因子.