解题思路:(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.(2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标.(3)易证S△PED=S△PFD.从而有S四边形DEPF=2S△PED=52DE.由∠DEP=90°得DE2=DP2-PE2=DP2-254.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.
(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示.
∵PH∥OA,
∴△CHP∽△COA.
∴[HP/OA]=[CH/CO]=[CP/CA].
∵点P是AC中点,
∴CP=[1/2]CA.
∴HP=[1/2]OA,CH=[1/2]CO.
∵A(3,0)、C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∴HP=[3/2],CH=2.
∴OH=2.
∵PH∥OA,∠COA=90°,
∴∠CHP=∠COA=90°.
∴点P的坐标为([3/2],2).
设直线DP的解析式为y=kx+b,
∵D(0,-5),P([3/2],2)在直线DP上,
∴
b=−5
3
2k+b=2
∴
k=
14
3
b=−5
∴直线DP的解析式为y=[14/3]x-5.
(2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示,
∵△DOM∽△ABC,
∴[DO/AB]=[OM/BC].
∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.-5),
∴BC=3,AB=4,OD=5.
∴[5/4]=[OM/3].
∴OM=[15/4].
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为([15/4],0)
②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示,
∵△DOM∽△CBA,
∴[DO/CB]=[OM/BA].
∵BC=3,AB=4,OD=5,
∴[5/3]=[OM/4].
∴OM=[20/3].
∵点M在x轴的正半轴上,
∴点M的坐标为([20/3],0).
综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为([15/4],0)或([20/3],0).
(3)
∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,
∴AC=5.
∴PE=PF=[1/2]AC=[5/2].
∵DE、DF都与⊙P相切,
∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.
∴S△PED=S△PFD.
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×[1/2]PE•DE
=PE•DE
=[5/2]DE.
∵∠DEP=90°,
∴DE2=DP2-PE2.
=DP2-[25/4].
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:
当DP⊥AC时,DP最短,
此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.
∵DP⊥AC,
∴∠DPC=90°.
∴∠AOC=∠DPC.
∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,
∴△AOC∽△DPC.
∴[AO/DP]=[AC/DC].
∵AO=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,
∴[3/DP]=[5/9].
∴DP=[27/5].
∴DE2=DP2-[25/4]
=([27/5])2-[25/4]
=[2291/100].
∴DE=
2291
10,
∴S四边形DEPF=[5/2]DE
=
2291
4.
∴四边形DEPF面积的最小值为
2291
4.
点评:
本题考点: 圆的综合题;待定系数法求一次函数解析式;垂线段最短;勾股定理;切线长定理;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识,考查了分类讨论的思想.将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键.另外,要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别.