(2014•云南)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(

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  • 解题思路:(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.(2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标.(3)易证S△PED=S△PFD.从而有S四边形DEPF=2S△PED=52DE.由∠DEP=90°得DE2=DP2-PE2=DP2-254.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.

    (1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示.

    ∵PH∥OA,

    ∴△CHP∽△COA.

    ∴[HP/OA]=[CH/CO]=[CP/CA].

    ∵点P是AC中点,

    ∴CP=[1/2]CA.

    ∴HP=[1/2]OA,CH=[1/2]CO.

    ∵A(3,0)、C(0,4),

    ∴OA=3,OC=4.

    ∴HP=[3/2],CH=2.

    ∴OH=2.

    ∵PH∥OA,∠COA=90°,

    ∴∠CHP=∠COA=90°.

    ∴点P的坐标为([3/2],2).

    设直线DP的解析式为y=kx+b,

    ∵D(0,-5),P([3/2],2)在直线DP上,

    b=−5

    3

    2k+b=2

    k=

    14

    3

    b=−5

    ∴直线DP的解析式为y=[14/3]x-5.

    (2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示,

    ∵△DOM∽△ABC,

    ∴[DO/AB]=[OM/BC].

    ∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0.-5),

    ∴BC=3,AB=4,OD=5.

    ∴[5/4]=[OM/3].

    ∴OM=[15/4].

    ∵点M在x轴的正半轴上,

    ∴点M的坐标为([15/4],0)

    ②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示,

    ∵△DOM∽△CBA,

    ∴[DO/CB]=[OM/BA].

    ∵BC=3,AB=4,OD=5,

    ∴[5/3]=[OM/4].

    ∴OM=[20/3].

    ∵点M在x轴的正半轴上,

    ∴点M的坐标为([20/3],0).

    综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为([15/4],0)或([20/3],0).

    (3)

    ∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°,

    ∴AC=5.

    ∴PE=PF=[1/2]AC=[5/2].

    ∵DE、DF都与⊙P相切,

    ∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°.

    ∴S△PED=S△PFD

    ∴S四边形DEPF=2S△PED

    =2×[1/2]PE•DE

    =PE•DE

    =[5/2]DE.

    ∵∠DEP=90°,

    ∴DE2=DP2-PE2

    =DP2-[25/4].

    根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:

    当DP⊥AC时,DP最短,

    此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.

    ∵DP⊥AC,

    ∴∠DPC=90°.

    ∴∠AOC=∠DPC.

    ∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC,

    ∴△AOC∽△DPC.

    ∴[AO/DP]=[AC/DC].

    ∵AO=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,

    ∴[3/DP]=[5/9].

    ∴DP=[27/5].

    ∴DE2=DP2-[25/4]

    =([27/5])2-[25/4]

    =[2291/100].

    ∴DE=

    2291

    10,

    ∴S四边形DEPF=[5/2]DE

    =

    2291

    4.

    ∴四边形DEPF面积的最小值为

    2291

    4.

    点评:

    本题考点: 圆的综合题;待定系数法求一次函数解析式;垂线段最短;勾股定理;切线长定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识,考查了分类讨论的思想.将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键.另外,要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别.