第一个问题：
∵D、G分别是AB、AC的中点,∴DG是△ABC的中位线,∴DG∥BC、DG＝BC/2.
∵E、F分别是OB、OC的中点,∴EF是△OBC的中位线,∴EF∥BC、EF＝BC/2.
由DG∥BC、EF∥BC,得：DG∥EF.
由DG＝BC/2、EF＝BC/2,得：DG＝EF.
由DG∥EF、DG＝EF,得：DEFG是平行四边形.
第二个问题：
∵D、E分别是AB、OB的中点,∴DE＝OA/2,又DG＝BC/2,而DEFG是菱形,∴DE＝DG,
∴OA＝BC.
∴当OA＝BC时,DEFG是菱形.